Los 500 años del cuadrado mágico de Durero

Entrando ya en la recta final de este año 2014, aún estamos a tiempo de recordar como se merece el 500 aniversario de una obra a caballo entre el arte, la ciencia y la matemática. Nos referimos a cierto contenido del grabado “Melancolía”, de Albrecht Dürer (Alberto Durero para nosotros), fechado precisamente en 1514.

Alberto Durero fue un pintor alemán (Nüremberg, 1471 - 1528) con una producción artística muy amplia y de gran calidad que ejerció gran influencia en sus contemporáneos, y además consiguió utilizar de forma magistral la geometría y las proporciones matemáticas en su arte. Fabricó algunos dispositivos mecánicos para facilitar el dibujo en perspectiva, que representó en algunos de sus propios grabados, como en El dibujante del laúd, La mujer desnuda o El dibujante en la jarra, llegando a escribir tratados donde explicaba métodos de dibujo de perspectivas y secciones.

Durero fue también un relevante matemático. Y tanto su escritura matemática, ideas y conceptos influenciaron profundamente a los científicos, sobre todo del norte de Europa en los siglos XVI al XVIII. Su influencia directa todavía se puede encontrar en las obras, referencias y experiencias personales de los científicos modernos pues introdujo una tradición muy interesante en la educación matemática, una de enseñanza de la geometría mediante polígonos plegados en poliedros 3D. Ha sido utilizado por maestros de todo el mundo. En 1525, Durero fue el primero en publicar este enfoque.

Entre sus obras artísticas se encuentran cuadros, varios de ellos autorretratos, dibujos y grabados, dentro de los que vamos a detenernos en uno de ellos, Melancolía I.

Este grabado compone, junto con “El caballero, la Muerte y el Diablo” y “San Jerónimo en su gabinete”, las “Estampas Maestras” y es, posiblemente, la obra más misteriosa de Durero.

El nombre de la obra alude a uno de los cuatro “humores” clásicos  que influían en el cuerpo humano y su conducta (sanguíneo, colérico, flemático y melancólico). Durante el Renacimiento la figura del melancólico se asoció a la genialidad y la creatividad del artista, y la interpretación del significado de cada detalle que contiene resulta apasionante. Se han vertido ríos de tinta intentando explicar lo que se supone que pasaba por la cabeza de Durero al hacer la obra y una versión generalmente aceptada relaciona el grabado con la alquimia y la búsqueda de las piedra filosofal, y hay quien asegura que la figura central del ángel es la del propio artista, abatido y “melancólico”

La balanza, el reloj de arena y las campanillas presentes también son símbolos del dios Saturno, dios vinculado a la vejez y la muerte (recordemos que Saturno, el Cronos griego, es el padre tiempo y dios de la medida). La presencia de malos augurios se reflejan no sólo en Saturno, sino también en el cometa, los cometas siempre han sido vistos como mensajeros de mala suerte; imagen complementada con el murciélago (vinculado a la oscuridad, aunque también puede señalar que el trabajo alquímico se realiza en la oscuridad, en secreto).  Se señala que el artista puede estar reflejando con estos signos de mala fortuna  la muerte de su madre, ocurrida en 1514 (justamente la fecha en el cuadrado mágico). Para contrarrestar los influjos negativos del planeta Saturno, del cometa y el murciélago se coloca el cuadrado mágico en su función de talismán protector contra las malas influencias. Por otra parte el poliedro y la esfera aluden a la geometría como base de la alquimia, la escalera de siete peldaños indicaría los pasos que debe seguir el alquimista para alcanzar su meta.

El perro de la imagen, está vinculado al dios Mercurio y, por otro lado, el poliedro irregular es la imagen del azufre.  El compás del ángel representa la universidad, ya que permite dibujar al círculo perfecto; por otra parte la escuadras y reglas son signo de rectitud y medida, representan al conocimiento; ambos objetos juntos con todas esas herramientas dispuestas en el suelo y el crisol encendido nos hablan del trabajo alquímico. En conclusión, aunque las interpretaciones y opiniones pueden variar, la obra nos señalaría los elementos presentes en ese primer paso para fabricar la piedra filosofal.

Parece evidente que, con todo ello, se logra captar el interés en la obra artística. Sin embargo, no hay ninguna tabla matemática que haya inspirado el interés del público en general como el cuadrado mágico que Durero insertó en un lugar prominente en "Melancolía I", en la esquina superior derecha del grabado.. 

Es este el primer cuadrado mágico de 4x4 publicado de la historia. A pesar de que Durero no había inventado los cuadrados mágicos -parecen haber sido conocidos en China durante miles de años-, fue el responsable de popularizarlos e inspirar su estudio riguroso en Occidente. El cuadrado mágico consiste en los números, del 1 al 16, que no se repiten en una cuadrícula; los números de cada fila, columna y diagonal suman el mismo número. Durero consiguió incrustar muchas propiedades interesantes en su cuadrado mágico, incluyendo la fecha del grabado, su edad e incluso sus iniciales.

Hay que decir que el término "mágico" se refiere más a las propiedades matemáticas del cuadrado, que fueron utilizadas durante las ceremonias antes y durante la vida de Durero, y que además continúan siendo vistos por algunos como poseedores de virtudes mágicas. (Dan Brown escribió prominentes cuadrados mágicos en la trama del thriller “El Código Da Vinci” y es famoso también el cuadrado mágico de Gaudí esculpido en el templo de la Sagrada Familia, en Barcelona). Cual rompecabezas, estos cuadrados han fascinado a los matemáticos recreacionales, incluso se dice que Benjamin Franklin se pasaba horas con estos pre-sudokus. Y más seriamente, las matemáticas de los cuadrados mágicos desafían a los investigadores en nuevos campos dentro de la combinatoria, que en términos generales hacen referencia al estudio y recuento de los objetos.

Pero, vamos a ver ¿es un cuadrado mágico? Pues algo de eso hay; de entrada, la suma de los elementos de sus filas, de los de sus columnas y de los de sus diagonales es siempre la misma, 34, que es por tanto la “constante mágica” del cuadrado.

Fijémonos en los cuadrados reproducidos arriba, empezando por los que suman filas o columnas.

-          Sumemos los números de las esquinas: ¿Cuánto suman? Sí, 34.

-          Sumemos ahora los números centrales: ¿cuánto suman? Otra vez 34.

-          Si dividimos el cuadrado por la mitad tanto horizontal como verticalmente, nos quedan cuatro cuadrados más pequeños con cuatro números cada uno: ¿qué ocurre si sumamos los números que hay en cada uno de esos cuadrados? Pues sí amigos, 34 en todos los casos.

-          Veamos ahora qué ocurre con los números centrales de las filas superior e inferior: exacto, 34.

-          ¿Y con los centrales de la primera y la última columna? También 34.

-          ¿Y si saltamos una posición tanto en filas como en columnas (primero y tercero de primera y tercera fila, segundo y cuarto de primera y tercera fila, etc.)? ¿Y agrupando con salto de caballo los números exteriores? ¿Y si sumamos por parejas saltando una fila (primero y segundo de primera y tercera fila, tercero y cuarto de primera y segunda fila, etc.)? Todas, 34 -          ¿Y agrupando por parejas saltando una columna? ¿Y formando esas dos cruces? -          ¿Y….? Seguro que hay más agrupaciones interesantes y curiosas de elementos de este cuadrado cuya suma vuelve a ser este misterioso y enigmático, a la par que cansino, número 34.

Y para terminar, ¿recordamos de qué año es Melancolía I? Sí, efectivamente, de 1514 (los números centrales de la última fila). Y, para rizar el rizo, los números de las esquinas, que completan la última fila, el 4 y el 1, corresponden en nuestro alfabeto a las letras D y A, esto es: Durero, Alberto.

Sin más comentarios. ¿Recordatorio de aniversario merecido o no?

Uno de los muchos autorretratos del artista